تُعتبر مادة الرياضيات في السنة الثانية باكالوريا المغربية الحجر الأساس للنجاح والدخول إلى المدارس والمعاهد العليا ذات الاستقطاب المحدود. ونظرًا لتنوع المسالك والشعب العلمية، يجد الكثير من التلاميذ صعوبة في إيجاد مرجع واحد يجمع بين الشرح المبسط للدروس، والتمارين التطبيقية المحلولة خطوة بخطوة، والمنهجية الصحيحة للتعامل مع الامتحانات الوطنية.
يقدم لك هذا الدليل الشامل كل ما تحتاجه للتمكن من المادة، بدءًا من استيعاب المفاهيم والقواعد، مرورًا بنماذج التمارين المتدرجة، ووصولاً إلى تجنب الأخطاء الشائعة التي تُفقد التلاميذ النقاط في الامتحان الوطني لجميع الشعب (علوم تجريبية، علوم رياضية، ومسالك خيار فرنسية BIOF).
الفرق بين رياضيات علوم رياضية وعلوم فيزيائية/بيوف
قبل البدء في المراجعة، من الضروري فهم الاختلاف في البرنامج الدراسي بين مختلف الشعب العلمية. يكمن هذا الاختلاف بشكل رئيسي في عمق المفاهيم الرياضية المدروسة وبعض الدروس الإضافية المخصصة لشعبة العلوم الرياضية.
يقدم الجدول التالي مقارنة شاملة بين البرنامج الدراسي لشعبة العلوم الرياضية وشعبة العلوم التجريبية (علوم فيزيائية، علوم الحياة والأرض، علوم زراعية/بيوف):
| محور المقارنة | شعبة العلوم الفيزيائية وعلوم الحياة والأرض (BIOF) | شعبة العلوم الرياضية (أ / ب) |
|---|---|---|
| معامل المادة | 7 (علوم فيزيائية) / 5 (علوم الحياة والأرض) | 9 |
| عمق المحتوى | تركيز على الجانب التطبيقي والمبرهنات الأساسية وتطبيقاتها في الفيزياء والحياة اليومية. | دراسة برهانية عميقة، مفاهيم مجردة أكثر، والتركيز على البناء الرياضي المنطقي. |
| الدروس المشتركة | النهايات والاتصال، الاشتقاق، دراسة الدوال، الدوال الأسية واللوغاريتمية، المتتاليات، التكامل، الأعداد العقدية، الاحتمالات، الهندسة الفضائية. | جميع الدروس المشتركة المدرجة في شعبة العلوم التجريبية، ولكن بدراسة حالات أعمق وتمارين أكثر تعقيدًا. |
| دروس خاصة بالشعبة | لا يوجد (البرنامج يركز على المهارات الأساسية للتحليل والجبر). | الحسابيات في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية Z، البنيات الجبرية (الزمرة، الحلقة، الجسم)، الفضاءات المتجهية، المخروطيات، ودراسة متقدمة في الهندسة الفضائية. |
فهرس دروس مادة الرياضيات الثانية باك (حسب المنهج المغربي)
يمكنك التنقل مباشرة إلى المحاور المطلوبة عبر القائمة التالية:
مجال التحليل الرياضي (Analyse)
1. الدرس الأول: النهايات والاتصال (Limites et Continuité)
2. الدرس الثاني: الاشتقاق ودراسة الدوال (Dérivation et Étude de fonctions)
3. الدرس الثالث: الدوال الأسية واللوغاريتمية (Fonctions Logarithmiques et Exponentielles)
4. الدرس الرابع: المتتاليات العددية (Suites Numériques)
5. الدرس الخامس: التكامل والدوال الأصلية (Calcul Intégral et Primitives)
6. الدرس السادس: المعادلات التفاضلية (Équations Différentielles)
مجال الجبر والهندسة والاحتمالات (Algèbre, Géométrie et Probabilités)
7. الدرس السابع: الأعداد العقدية (Nombres Complexes)
8. الدرس الثامن: الاحتمالات والتعداد (Probabilités et Dénombrement)
9. الدرس التاسع: الهندسة الفضائية (Géométrie dans l'espace)
10. دروس خاصة بشعبة العلوم الرياضية (البنيات الجبرية والحسابيات والمخروطيات)
1. النهايات والاتصال (Limites et Continuité)
الشرح والقواعد الأساسية
يعد درس النهايات والاتصال المدخل الرئيسي لمجال التحليل الرياضي في الثانية باكالوريا. يعتمد هذا الدرس على القواعد التالية:
1. الاتصال في نقطة x0: تكون الدالة f متصلة في x0 إذا وفقط إذا كان نهاية f(x) عندما يؤول x إلى x0 تساوي f(x0).
2. مبرهنة القيمة الوسيطية (TVI): إذا كانت f متصلة على مجال [a, b] وكان جداء f(a) و f(b) أصغر قطعيًا من 0، فإنه يوجد على الأقل عنصر c من المجال المفتوح ]a, b[ بحيث f(c) = 0. وتكون القيمة c وحيدة إذا كانت الدالة f رتيبة قطعًا على [a, b].
3. خاصية الدالة العكسية: كل دالة f متصلة ورتيبة قطعًا على مجال I تقبل دالة عكسية f^(-1) معرفة من المجال J = f(I) نحو I.
مثال محلول
المسألة: لتكن الدالة f المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية R بـ: f(x) = x^3 + 2x - 1. أثبت أن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلاً وحيدًا c في المجال [0, 1].
الحل:
1. الاتصال: الدالة f دالة حدودية، إذن فهي متصلة على R وبشكل خاص على المجال [0, 1].
2. الرتابة: نحسب المشتقة: f'(x) = 3x^2 + 2. بما أن 3x^2 أكبر من أو يساوي 0 لكل x من R، فإن f'(x) أكبر قطعيًا من 0 على R. إذن f تزايدية قطعًا على [0, 1].
3. حساب الصور:
- f(0) = (0)^3 + 2(0) - 1 = -1
- f(1) = (1)^3 + 2(1) - 1 = 2
4. تطبيق المبرهنة: نلاحظ أن f(0) × f(1) = (-1) × 2 = -2 وهو أصغر قطعيًا من 0.
5. النتيجة: حسب مبرهنة القيمة الوسيطية ورتابة الدالة القطعية، فإن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلاً وحيدًا c في المجال المفتوح ]0, 1[.
تمارين مع الحل
التمرين 1 (مستوى سهل): حساب نهاية بسيطة
احسب النهاية التالية: نهاية (x^2 - 4) / (x - 2) عندما يؤول x إلى 2.
✅ الحل:
عند التعويض المباشر بـ x = 2 نحصل على شكل غير محدد 0/0.
نقوم بتفكيك البسط إلى عوامل: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).
نعوض في النهاية: نهاية (x - 2)(x + 2) / (x - 2) عندما يؤول x إلى 2 = نهاية (x + 2) = 2 + 2 = 4.
التمرين 2 (مستوى متوسط): الاتصال ودراسة الدالة العكسية
لتكن الدالة g(x) = الجذر التربيعي لـ (x + 1) المعرفة على المجال I = [-1, infinity+[.
1. بين أن g تقبل دالة عكسية g^(-1) محددًا مجال تعريفها J.
2. حدد الصيغة الصريحة لـ g^(-1)(x).
✅ الحل:
1. الدالة g متصلة وتزايدية قطعًا على المجال [-1, infinity+[. إذن تقبل دالة عكسية g^(-1) معرفة على المجال J = g(I) = [0, infinity+[.
2. لتكن y من [-1, infinity+[ و x من [0, infinity+[:
g(y) = x تعني الجذر التربيعي لـ (y + 1) = x تعني y + 1 = x^2 تعني y = x^2 - 1.
إذن: لكل x من [0, infinity+[، g^(-1)(x) = x^2 - 1.
التمرين 3 (مستوى تحدي): تطبيق متقدم لمبرهنة القيمة الوسيطية
لتكن f دالة متصلة على المجال [0, 1] بحيث f([0, 1]) ضمن [0, 1]. بين أنه يوجد عنصر c في [0, 1] بحيث f(c) = c.
✅ الحل:
نعتبر الدالة المساعدة h(x) = f(x) - x المعرفة على [0, 1].
1. h متصلة على [0, 1] لأنها مجموع دالتين متصلتين (f(x) والدالة التآلفية -x).
2. نحسب الصور عند أطراف المجال:
- h(0) = f(0) - 0 = f(0). بما أن صورة المجال ضمن [0, 1] فإن f(0) أكبر من أو يساوي 0، وبالتالي h(0) أكبر من أو يساوي 0.
- h(1) = f(1) - 1. بما أن f(1) أصغر من أو يساوي 1 فإن f(1) - 1 أصغر من أو يساوي 0، وبالتالي h(1) أصغر من أو يساوي 0.
3. إذن جداء h(0) و h(1) أصغر من أو يساوي 0.
- إذا كان h(0) = 0 فإن c = 0.
- إذا كان h(1) = 0 فإن c = 1.
- إذا كان جداء h(0) و h(1) أصغر قطعيًا من 0 حسب مبرهنة القيمة الوسيطية، فإنه يوجد c في المجال المفتوح ]0, 1[ بحيث h(c) = 0 أي f(c) = c.
🛑 أخطاء شائعة في هذا الدرس
* نسيان رتابة الدالة: استخدام مبرهنة القيمة الوسيطية لإثبات وحدانية الحل دون إثبات أن الدالة تزايدية قطعًا أو تناقصية قطعًا.
* الخلط في مجال الدالة العكسية: تحديد المجال J دون استخدام صور أطراف المجال I بشكل صحيح وفق رتابة الدالة.
2. الاشتقاق ودراسة الدوال (Dérivation et Étude de fonctions)
الشرح والقواعد الأساسية
تعتبر دراسة الدوال المحور الأهم في الامتحان الوطني وتأخذ الحصة الأكبر من مجموع النقاط.
1. الاشتقاقية والتأويل الهندسي:
إذا كانت نهاية (f(x) - f(x0)) / (x - x0) عندما يؤول x إلى x0 تساوي عددًا حقيقيًا L، فإن f قابلة للاشتقاق في x0 و f'(x0) = L.
- معادلة المماس عند النقطة x0:
y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)
2. الفروع اللانهائية (Branches Infinies):
- إذا كانت نهاية f(x) عند المالانهاية تساوي المالانهاية، نحسب نهاية f(x)/x:
- إذا كانت تساوي 0: فرع شلجمي في اتجاه محور الفواصل.
- إذا كانت تساوي المالانهاية: فرع شلجمي في اتجاه محور الأراتيب.
- إذا كانت تساوي عددًا غير منعدم a: نحسب نهاية [f(x) - ax]:
- إذا كانت تساوي عددًا b: مستقيم مقارب مائل معادلته y = ax + b.
- إذا كانت تساوي المالانهاية: فرع شلجمي في اتجاه المستقيم الذي معادلته y = ax.
مثال محلول
المسألة: لتكن الدالة f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1. حدد جدول تغيرات الدالة f.
الحل:
1. مجموعة التعريف هي R.
2. نحسب الدالة المشتقة: f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1).
3. ندرس إشارة f'(x):
- f'(x) = 0 تعني x = 0 أو x = 1.
- f'(x) أكبر قطعيًا من 0 على المجالين ]-infinity, 0[ و ]1, infinity+[.
- f'(x) أصغر قطعيًا من 0 على المجال ]0, 1[.
4. جدول التغيرات:
- f تزايدية على ]-infinity, 0] من -infinity إلى f(0) = 1.
- f تناقصية على [0, 1] من 1 إلى f(1) = 0.
- f تزايدية على [1, infinity+[ من 0 إلى +infinity.
تمارين مع الحل
التمرين 1 (مستوى سهل): معادلة المماس
احسب مشتقة الدالة f(x) = x^2 - 4x + 5 في النقطة x0 = 3 واكتب معادلة المماس للمنحنى (Cf) عند هذه النقطة.
✅ الحل:
1. المشتقة: f'(x) = 2x - 4.
2. قيمة المشتقة عند x0 = 3: f'(3) = 2(3) - 4 = 2.
3. صورة النقطة: f(3) = 3^2 - 4(3) + 5 = 2.
4. معادلة المماس: y = f'(3)(x - 3) + f(3) مما يعني y = 2(x - 3) + 2 إذن y = 2x - 4.
التمرين 2 (مستوى متوسط): دراسة مقارب مائل
لتكن الدالة f(x) = x + 1 + 1/(x - 1) المعرفة على R باستثناء 1.
أثبت أن المستقيم الذي معادلته y = x + 1 مقارب مائل للمنحنى (Cf) بجوار +infinity.
✅ الحل:
نحسب النهاية التالية عند +infinity:
نهاية [f(x) - (x + 1)] = نهاية 1/(x - 1) = 0.
بما أن النهاية تساوي 0، فإن المستقيم الذي معادلته y = x + 1 هو مقارب مائل للمنحنى (Cf) بجوار +infinity.
التمرين 3 (مستوى تحدي): نقطة الانعطاف وتعرج المنحنى
لتكن الدالة g(x) = x^4 - 2x^3. حدد نقط الانعطاف للمنحنى (Cg) وادرس تقعره.
✅ الحل:
1. نحسب المشتقة الأولى: g'(x) = 4x^3 - 6x^2.
2. نحسب المشتقة الثانية: g''(x) = 12x^2 - 12x = 12x(x - 1).
3. ندرس إشارة المشتقة الثانية g''(x):
- g''(x) = 0 تعني x = 0 أو x = 1.
- g''(x) أكبر قطعيًا من 0 على ]-infinity, 0[ و ]1, infinity+[ مما يعني أن المنحنى موجه نحو الأعلى (محدب).
- g''(x) أصغر قطعيًا من 0 على ]0, 1[ مما يعني أن المنحنى موجه نحو الأسفل (مقعر).
4. النتيجة: المشتقة الثانية تنعدم وتغير إشارتها عند x = 0 وعند x = 1. إذن المنحنى يملك نقطتي انعطاف هما A(0, 0) و B(1, -1).
🛑 أخطاء شائعة في هذا الدرس
* نسيان شرط التغير في الإشارة لنقطة الانعطاف: انعدام المشتقة الثانية فقط غير كافٍ لإثبات نقطة الانعطاف دون التأكد من تغير إشارتها حول تلك النقطة.
* خطأ التأويل الهندسي: الخلط بين المماس الأفقي (عندما تنعدم المشتقة الأولى) والمقارب الأفقي (عند النهاية عند المالانهاية).
3. الدوال الأسية واللوغاريتمية (Fonctions Logarithmiques et Exponentielles)
الشرح والقواعد الأساسية
تُشكل الدالة اللوغاريتمية النيبيرية ln والدالة الأسية e^x حجر الزاوية في أسئلة الامتحان الوطني.
النهايات الأساسية للمقارنة والنمو:
نهاية ln(x)/x عند +infinity تساوي 0.
نهاية x × ln(x) عند 0 على اليمين تساوي 0.
نهاية e^x / x عند +infinity تساوي +infinity.
نهاية x × e^x عند -infinity تساوي 0.
القواعد الحسابية الأساسية:
ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
e^(a + b) = e^a × e^b
مشتقة e^x هي e^x
مشتقة ln(u(x)) هي u'(x) / u(x)
مثال محلول
المسألة: حل في R المعادلة التالية: e^(2x) - 3e^x + 2 = 0.
الحل:
1. نضع المجهول المساعد X = e^x مع شرط X أكبر قطعيًا من 0.
2. تتحول المعادلة إلى معادلة من الدرجة الثانية: X^2 - 3X + 2 = 0.
3. نحسب المميز: Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1.
4. نحسب الحلول:
- X1 = (3 - 1) / 2 = 1
- X2 = (3 + 1) / 2 = 2
5. نرجع إلى المجهول الأصلي x:
- e^x = 1 تعني x = ln(1) = 0
- e^x = 2 تعني x = ln(2)
6. مجموعة الحلول هي: S = {0, ln(2)}.
تمارين مع الحل
التمرين 1 (مستوى سهل): حساب نهاية أصلية
احسب النهاية التالية: نهاية (x × ln(x) + 2x + 1) عندما يؤول x إلى 0 على اليمين.
✅ الحل:
نعلم حسب النهايات المرجعية الأساسية أن نهاية x × ln(x) عند 0 على اليمين تساوي 0.
بالتعويض المباشر: 0 + 0 + 1 = 1.
التمرين 2 (مستوى متوسط): حساب مشتقة دالة أسية
احسب مشتقة الدالة f(x) = (x - 1) e^(-x) على R.
✅ الحل:
تكتب الدالة على شكل جداء دالتين u(x) × v(x) حيث u(x) = x - 1 و v(x) = e^(-x).
نحسب المشتقات الجزئية: u'(x) = 1 و v'(x) = -e^(-x).
نطبق قاعدة اشتقاق الجداء:
f'(x) = 1 × e^(-x) + (x - 1)(-e^(-x)) = e^(-x) (1 - (x - 1)) = e^(-x) (2 - x).
التمرين 3 (مستوى تحدي): متراجحة لوغاريتمية
حل في R المتراجحة التالية: ln(x + 3) + ln(x - 1) أصغر من أو يساوي ln(5).
✅ الحل:
1. مجموعة التعريف: يلزم أن يكون x + 3 أكبر قطعيًا من 0 و x - 1 أكبر قطعيًا من 0 مما يعني x أكبر من 1.
إذن مجموعة التعريف هي D = ]1, infinity+[.
2. تبسيط المتراجحة داخل D:
ln((x + 3)(x - 1)) أصغر من أو يساوي ln(5) تعني (x + 3)(x - 1) أصغر من أو يساوي 5.
x^2 + 2x - 3 أصغر من أو يساوي 5 تعني x^2 + 2x - 8 أصغر من أو يساوي 0.
3. دراسة إشارة الحدودية:
نعين الجذور: x = -4 أو x = 2.
تكون الحدودية سالبة أو منعدمة بين الجذرين: [-4, 2].
4. تقاطع الحلول مع مجموعة التعريف D:
الحل هو المجال ]1, 2].
🛑 أخطاء شائعة في هذا الدرس
* إهمال مجموعة التعريف: حل المعادلات أو المتراجحات اللوغاريتمية دون تحديد المجال الصالح للأعداد الموجبة قطعيًا أولاً.
* الخطأ في نشر اللوغاريتم: الاعتقاد الخاطئ بأن ln(a + b) = ln(a) + ln(b) بينما الصحيح هو ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
4. المتتاليات العددية (Suites Numériques)
الشرح والقواعد الأساسية
يتكرر تمرين المتتاليات بشكل شبه دائم في الامتحان الوطني وغالبًا ما يكون مرتبطًا بدرس دراسة الدوال.
1. البرهان بالتراجع (Récurrence):
- التحقق: التأكد من صحة العبارة من أجل الحد الأول n = n0.
- الافتراض: نفترض أن الخاصية صحيحة من أجل n.
- البرهان: نبرهن صحة الخاصية من أجل n + 1.
2. المتتالية المتقاربة (Convergence):
- كل متتالية تزايدية ومكبورة بعدد حقيقي فهي متقاربة.
- كل متتالية تناقصية ومصغورة بعدد حقيقي فهي متقاربة.
3. خاصية u_(n+1) = f(u_n): إذا كانت المتتالية متقاربة ونهايتها L وكان f دالة متصلة، فإن L هو حل المعادلة f(L) = L.
مثال محلول
المسألة: لتكن المتتالية u_n المعرفة بـ u_0 = 2 و u_(n+1) = (1/2) u_n + 1. أثبت بالتراجع أن u_n أصغر من أو يساوي 2 لكل n من مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية N.
الحل:
1. التحقق: من أجل n = 0 لدينا u_0 = 2 وهي أصغر من أو تساوي 2 (عبارة صحيحة).
2. الافتراض: نفترض أن u_n أصغر من أو يساوي 2 من أجل n.
3. البرهان لـ n+1:
u_n أصغر من أو يساوي 2 تعني (1/2) u_n أصغر من أو يساوي 1 تعني (1/2) u_n + 1 أصغر من أو يساوي 2 تعني u_(n+1) أصغر من أو يساوي 2.
4. الخلاصة: حسب مبدأ البرهان بالتراجع، فإن u_n أصغر من أو يساوي 2 لكل n من N.
تمارين مع الحل
التمرين 1 (مستوى سهل): متتالية هندسية
لتكن v_n متتالية هندسية أساسها q = 1/3 وحدها الأول v_0 = 5. اكتب v_n بدلالة n واحسب نهايتها.
✅ الحل:
1. الصيغة الصريحة للمتتالية الهندسية: v_n = v_0 × q^n = 5 × (1/3)^n.
2. حساب النهاية: بما أن 1/3 محصور بين -1 و 1 فإن نهاية (1/3)^n عند +infinity تساوي 0.
إذن نهاية v_n تساوي 5 × 0 = 0.
التمرين 2 (مستوى متوسط): الرتابة والتقارب
لتكن u_n متتالية بحيث u_0 = 1 و u_(n+1) = الجذر التربيعي لـ (u_n + 2). نفترض أن u_n أصغر من 2 لكل n من N. ادرس رتابة المتتالية واستنتج أنها متقاربة.
✅ الحل:
1. ندرس إشارة الفرق u_(n+1) - u_n:
u_(n+1) - u_n = الجذر التربيعي لـ (u_n + 2) - u_n = -(u_n - 2)(u_n + 1) / (الجذر التربيعي لـ (u_n + 2) + u_n).
2. نحدد إشارة البسط والمقام:
- المقام موجب تمامًا.
- لدينا u_n أصغر من 2 إذن -(u_n - 2) أكبر قطعيًا من 0.
3. إذن u_(n+1) - u_n أكبر قطعيًا من 0 أي أن المتتالية تزايدية قطعيًا.
4. بما أن المتتالية تزايدية ومكبورة بالعدد 2، فإنها متتالية متقاربة.
التمرين 3 (مستوى تحدي): حساب نهاية متتالية عبر دالة f(L) = L
احسب نهاية المتتالية المحددة في التمرين السابق.
✅ الحل:
1. نعتبر الدالة f(x) = الجذر التربيعي لـ (x + 2).
2. لدينا u_(n+1) = f(u_n) والدالة f متصلة على المجال [0, 2].
3. بما أن المتتالية متقاربة، فإن نهايتها L تحقق المعادلة f(L) = L:
الجذر التربيعي لـ (L + 2) = L تعني L + 2 = L^2 تعني L^2 - L - 2 = 0.
4. نحل المعادلة: L = 2 أو L = -1.
5. بما أن حدود المتتالية موجبة، فإن النهاية هي L = 2.
🛑 أخطاء شائعة في هذا الدرس
* عدم التحقق من الشروط لدالة f: استخدام خاصية f(L) = L دون التأكد من أن f متصلة وأن صورة المجال ضمن نفسه.
* خطأ أطراف المجموع: الخلط في عدد حدود مجموع متتالية هندسية؛ عدد الحدود من p إلى n هو (n - p + 1).
5. التكامل والدوال الأصلية (Calcul Intégral et Primitives)
الشرح والقواعد الأساسية
يرتبط درس التكامل ارتباطًا وثيقًا بالدوال الأصلية وحساب المساحات والحجوم.
1. تعريف التكامل: إذا كانت F دالة أصلية للدالة المتصلة f على [a, b]:
تكامل f(x) من a إلى b يساوي F(b) - F(a).
2. التكامل بالتجزئة (Intégration par parties):
تكامل u(x)v'(x) من a إلى b يساوي [u(x)v(x)] من a إلى b مطروحًا منه تكامل u'(x)v(x) من a إلى b.
3. حساب المساحة: مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة (Cf) ومحور الفواصل والمستقيمين x = a و x = b هي تكامل القيمة المطلقة لـ f(x) من a إلى b مضروبة في وحدة قياس المساحة.
مثال محلول
المسألة: احسب التكامل التالي باستعمال التكامل بالتجزئة: I = تكامل x × ln(x) من 1 إلى e.
الحل:
1. نختار الدوال المناسبة:
- نضع u(x) = ln(x) مما يعني u'(x) = 1/x
- نضع v'(x) = x مما يعني v(x) = x^2 / 2
2. نطبق صيغة التكامل بالتجزئة:
I = [(x^2 / 2) ln(x)] من 1 إلى e - تكامل (x / 2) من 1 إلى e.
I = (e^2 / 2) - [x^2 / 4] من 1 إلى e = (e^2 / 2) - (e^2 / 4 - 1/4) = (e^2 + 1) / 4.
تمارين مع الحل
التمرين 1 (مستوى سهل): تكامل مباشر لدالة أصلية
احسب التكامل التالي: تكامل (3x^2 + 2x + 1) من 0 إلى 1.
✅ الحل:
1. نحدد الدالة الأصلية: F(x) = x^3 + x^2 + x.
2. نحسب التكامل: (1^3 + 1^2 + 1) - (0) = 3.
التمرين 2 (مستوى متوسط): تكامل باستعمال الشكل u'/u
احسب التكامل التالي: تكامل (2x + 1) / (x^2 + x + 1) من 0 إلى 1.
✅ الحل:
نلاحظ أن بسط الكسر ينطبق تمامًا مع مشتقة المقام.
إذن الدالة الأصلية هي ln(x^2 + x + 1).
التكامل يساوي ln(1^2 + 1 + 1) - ln(1) = ln(3).
التمرين 3 (مستوى تحدي): حساب مساحة حيز محصور
احسب مساحة الحيز الممتد بين منحنى الدالة f(x) = e^x - 1 ومحور الفواصل على المجال [0, 1] (معلم متعامد منظم وحدة القياس 1 cm).
✅ الحل:
1. ندرس إشارة f(x) على المجال [0, 1]: الدالة موجبة على هذا المجال.
2. حساب التكامل للمساحة:
التكامل من 0 إلى 1 لـ (e^x - 1) يساوي [e^x - x] من 0 إلى 1 = (e - 1 - 1) - (1 - 0) = e - 2.
إذن المساحة هي (e - 2) سنتيمتر مربع.
🛑 أخطاء شائعة في هذا الدرس
* نسيان وحدة قياس المساحة: كتابة القيمة العددية للتكامل دون ضربها في منظم منظم المعلم.
* إهمال إشارة الدالة: عدم أخذ القيمة المطلقة لـ f(x) عند حساب المساحة عندما تكون الدالة سالبة.
6. المعادلات التفاضلية (Équations Différentielles)
الشرح والقواعد الأساسية
درس مباشر وخفيف في الامتحان الوطني يعتمد على حفظ الصيغتين الأساسيتين:
1. المادلة من الدرجة الأولى y' = ay + b:
الحل العام لهذه المعادلة (مع a لا يساوي 0) هو مجموعة الدوال:
y(x) = C × e^(ax) - b/a (حيث C عدد حقيقي).
2. المعادلة من الدرجة الثانية y'' + ay' + by = 0:
نحل المعادلة المميزة r^2 + ar + b = 0 المرافقة لها حسب المميز Delta:
- إذا كان Delta أكبر من 0: الحل هو y(x) = c1 × e^(r1 x) + c2 × e^(r2 x).
- إذا كان Delta يساوي 0: الحل هو y(x) = (c1 x + c2) e^(r0 x).
- إذا كان Delta أصغر من 0 (جذران عقديان): الحل يتكون من إشارات الجيب والجيب التمام والدالة الأسية.
مثال محلول
المسألة: حدد الحل العام للمعادلة التفاضلية y'' - 3y' + 2y = 0.
الحل:
1. نكتب المعادلة المميزة: r^2 - 3r + 2 = 0.
2. نحسب المميز: Delta = 1 أكبر من 0.
3. جذرا المعادلة المميزة هما: r1 = 1 و r2 = 2.
4. إذن الحل العام للمعادلة التفاضلية هو: y(x) = c1 × e^x + c2 × e^(2x).
7. الأعداد العقدية (Nombres Complexes)
الشرح والقواعد الأساسية
يعد درس الأعداد العقدية من أمتع الدروس ويجمع بين الجبر والهندسة المستوية التحليلية.
1. الشكل الجبري: z = a + ib (حيث a الجزء الحقيقي و b الجزء التخيلي).
- المعيار: الجذر التربيعي لـ (a^2 + b^2).
- المرافق: z_bar = a - ib.
2. الشكل المثلثي والأساسي: z = r(cos t + i sin t) = r e^(it).
3. التطبيقات الهندسيّة:
- المسافة بين نقطتين A و B هي معيار الفرق بين لحقيهما.
- الدوران الذي مركزه Omega وزاويته theta: يربط كل نقطة M ذات اللحق z بالنقطة M' ذات اللحق z' حيث: z' - w = e^(i theta) × (z - w).
مثال محلول
المسألة: حل في C المعادلة التالية: z^2 - 2z + 4 = 0.
الحل:
1. نحسب مميز المعادلة: Delta = (-2)^2 - 4(1)(4) = -12 وهو أصغر قطعيًا من 0.
2. المعادلة تقبل حلين عقديين مترافقين:
z1 = 1 + i × الجذر التربيعي لـ 3.
z2 = 1 - i × الجذر التربيعي لـ 3.
3. مجموعة الحلول هي: S = {1 + i sqrt(3), 1 - i sqrt(3)}.
تمارين مع الحل
التمرين 1 (مستوى سهل): التحويل للشكل المثلثي
اكتب العدد العقدي z = 1 + i على الشكل المثلثي.
✅ الحل:
1. المعيار: الجذر التربيعي لـ (1^2 + 1^2) = الجذر التربيعي لـ 2.
2. نعمل بالمعيار: z = sqrt(2) × [ (sqrt(2)/2) + i (sqrt(2)/2) ].
3. نعلم أن cos(pi/4) = sqrt(2)/2 و sin(pi/4) = sqrt(2)/2.
4. إذن الشكل المثلثي هو: z = sqrt(2) × [ cos(pi/4) + i sin(pi/4) ].
التمرين 2 (مستوى متوسط): طبيعة المثلث عبر المنسوب العقدي
لتكن النقط A و B و C ألحاقها على التوالي: zA = 1، zB = 3 + 2i، zC = 1 + 2i.
احسب النسبة (zB - zC) / (zA - zC) واستنتج طبيعة المثلث ABC.
✅ الحل:
1. نحسب النسبة: ((3 + 2i) - (1 + 2i)) / (1 - (1 + 2i)) = 2 / (-2i) = i.
2. التفسير الهندسي:
- المعيار يساوي 1 إذن المسافة CA تساوي المسافة CB.
- العمدة تساوي pi/2 إذن الزاوية قائمة.
3. الاستنتاج: المثلث ABC قائم الزاوية ومتساوي الساقين في النقطة C.
التمرين 3 (مستوى تحدي): صيغة الدوران
في المستوى العقدي، نعتبر الدوران R الذي مركزه النقطة Omega(1 + i) وزاويته pi/2.
حدد لحق النقطة A' صورة النقطة A(2 + 3i) بالدوران R.
✅ الحل:
1. التمثيل العقدي للدوران: z' - z_Omega = i × (z - z_Omega).
2. نعوض بالعناصر المعلومة:
z' - (1 + i) = i × [ (2 + 3i) - (1 + i) ] = i × (1 + 2i) = i - 2.
z' = -2 + i + 1 + i = -1 + 2i.
3. إذن لحق النقطة الصورة هو z' = -1 + 2i.
🛑 أخطاء شائعة في هذا الدرس
* إهمال تغيير إشارة الجزء التخيلي: عند إدخال علامة السالب داخل الشكل المثلثي ينبغي الحذر واستخدام خواص الجيب والجيب التمام.
* الخلط بين صور النقط بالدوران والتحاكي: التطبيق الخاطئ للزاوية المقترنة بالنسبة لكل تحويل هندسي.
8. الاحتمالات والتعداد (Probabilités et Dénombrement)
الشرح والقواعد الأساسية
يعتمد هذا الدرس على التمييز الدقيق بين أدوات التعداد قبل حساب الاحتمالات.
1. أدوات التعداد الأساسية:
عند سحب k عناصر من بين n عنصر:
| نوع السحب | الترتيب مأخوذ بالاعتبار؟ | التكرار مسموح؟ | الأداة الرياضية المستخدمة |
|---|---|---|---|
| في آن واحد (Simultané) | لا | لا | التوافيقات C(n, k) |
| بالتتابع وبدون إرجاع | نعم | لا | الترتيبات A(n, k) |
| بالتتابع وبإرجاع | نعم | نعم | التأليفات n^k |
2. قوانين الاحتمال الأساسية:
- احتمال حدث = عدد الحالات الملائمة / عدد الحالات الممكنة.
- الاحتمال الشرطي: احتمال A علماً أن B محقق = احتمال (A و B) / احتمال B.
- استقلالية حدثين: يكون A و B مستقلين إذا وفقط إذا كان احتمال (A و B) = احتمال A × احتمال B.
مثال محلول
المسألة: يحتوي صندوق على 3 كرات حمراء و 4 كرات خضراء. نسحب عشوائيًا وفي آن واحد كرتين من الصندوق. احسب احتمال الحصول على كرتين من نفس اللون (الحدث A).
الحل:
1. التعداد الكلي: نسحب كرتين في آن واحد من بين 7 كرات: C(7, 2) = 21.
2. الحالات الملائمة للحدث A (كرتان حمراوان أو كرتان خضراوان): C(3, 2) + C(4, 2) = 3 + 6 = 9.
3. حساب الاحتمال: p(A) = 9 / 21 = 3 / 7.
9. الهندسة الفضائية (Géométrie dans l'espace)
الشرح والقواعد الأساسية
تعتمد الهندسة الفضائية التحليلية على الجداء السلمي والجداء المتجهي.
1. الجداء المتجهي (Produit Vectoriel): يعطي متجهًا منظمًا عموديًا على مستوى المتجهين u و v.
2. معادلة الفلكة (Sphère): معادلة الفلكة التي مركزها Omega(a, b, c) وشعاعها R هي: (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2.
3. مسافة نقطة عن مستوى: تحسب بالقيمة المطلقة لتعويض إحداثيات النقطة في معادلة المستوى مقسومة على منظم المتجهة المنظمة.
10. دروس خاصة بشعبة العلوم الرياضية
تستقل شعبة العلوم الرياضية بدروس عميقة تبني الفكر المنطقي التجريدي للرياضيات:
أ) البنيات الجبرية (Structures Algébriques)
* القانون الداخلي: دراسة التجميعية، التبادلية، العنصر المحايد، والعناصر المتقابلة.
* الزمرة (Groupe): مجموعة مزودة بقانون استقرار داخلي تجميعي يقبل عنصرًا محايدًا وكل عنصر منها يقبل عنصرًا مماثلاً.
* الحلقة والجسم (Anneau et Corps): بنيات تدمج قانونين داخليين متكاملين.
ب) الحسابيات في مجموعة Z (Arithmétique)
* القسمة الإقليدية والتقاسم: الحساب بمودولو n.
* القاسم المشترك الأكبر (PGCD) والمضاعف المشترك الأصغر (PPCM).
* مبرهنة بيزو (Bézout) ومبرهنة غوص (Gauss): حل المعادلات الديوفتانتية.
* مبرهنة فيرما الصغرى (Fermat's Little Theorem).
منهجية مراجعة فعالة لمادة الرياضيات للثانية باك 2026
للتمكن الشامل من المادة وتحقيق نقطة متميزة في الامتحان الوطني، اتبّع الخطة التنفيذية التالية:
- لا تحفظ الحلول: الرياضيات مادة تفكير ومنطق. ركز على فهم لماذا اخترنا هذه المبرهنة تحديدًا دون غيرها.
- شكل دفتر القواعد الخاص بك: قم بإنشاء ملخص شخصي بخط يدك يحتوي فقط على العلاقات والنهايات الاعتيادية لكل درس.
- التدرج في الحل: ابدأ دائمًا بالتطبيق المباشر للقواعد (مستوى سهل)، ثم انتقل للتمارين المركبة التي تجمع بين درسين (مثل: المتتاليات مع الدوال، أو التكامل مع دراسة الدوال).
- المحاكاة الزمنية: قبل الامتحان الوطني بشهر على الأقل، ابدأ بحل امتحانات وطنية سابقة في ظروف مشابهة للامتحان (مدة 3 ساعات دون انقطاع ودون النظر إلى التصحيح إلا بعد الانتهاء الكامل).
تمارين ودروس مادة الرياضيات الثانية باك 2026 PDF
ملخصات الدروس وتمارين تطبيقية ومتدرجة للمراجعة والاستعداد للامتحان الوطني
| # | عنوان الملف | المسلك | المحتوى | التحميل |
|---|---|---|---|---|
| 📘 الثانية باك علوم فيزيائية وعلوم الحياة والأرض PC / SVT | ||||
| 1 | Maxi Maths 2BAC PC وSVT – الجزء الأول PDF | PC / SVT | دروس وتمارين | تحميل PDF |
| 2 | Maxi Maths 2BAC PC وSVT – الجزء الثاني PDF | PC / SVT | دروس وتمارين | تحميل PDF |
| 3 | تمارين ومسائل الاحتمالات 2BAC PC مع التصحيح | PC / SVT | تمارين | تحميل PDF |
| 4 | تمارين الأعداد والمتتاليات 2BAC PC وSVT مع التصحيح | PC / SVT | تمارين محلولة | تحميل PDF |
| 📐 الثانية باك علوم رياضية A وB | ||||
| 5 | Maxi Maths 2BAC Sciences Mathématiques A وB – الجزء الأول PDF | SM A / B | دروس وتمارين | تحميل PDF |
| 6 | Maxi Maths 2BAC Sciences Mathématiques A وB – الجزء الثاني PDF | SM A / B | دروس وتمارين | تحميل PDF |
| 📚 ملفات إضافية للمراجعة والتدريب | ||||
| 7 | ملخص الاحتمالات 2BAC PC – Probabilité | PC / SVT | ملخص درس | عرض الملف |
| 8 | الأعداد العقدية – درس وتمارين 2BAC PC | PC / SVT | درس وتمارين | عرض الملف |
الاسالة شائعة
ما هي أهم دروس الرياضيات في الثانية باك بالنسبة للامتحان الوطني؟
تأخذ مسألة دراسة الدوال (التي تدمج الاشتقاق، النهايات، والدوال الأسية/اللوغاريتمية، والتكامل) النصيب الأكبر من النقاط (ما بين 8 إلى 11 نقطة). يليه درس الأعداد العقدية (3 إلى 4 نقاط)، ثم المتتاليات العددية (3 نقاط)، والاحتمالات أو الهندسة الفضائية (3 نقاط لكل منهما).
ما الفرق بين رياضيات علوم رياضية وعلوم فيزيائية؟
تعتمد علوم تجريبية على التطبيق المباشر للمبادئ والتمارين ذات النمط المباشر. بينما تحتوي شعبة العلوم الرياضية على دروس إضافية (البنيات الجبرية، الحسابيات، المخروطيات)، كما أن امتحاناتها تتطلب قدرة عالية على البرهنة الصارمة والتفكير التجريدي.
كيف أراجع مادة الرياضيات بفعالية خلال السنة؟
المفتاح هو الاستمرارية. أصلح أخطاءك فورًا بعد كل فرض محروس، ولا تتأخر في معالجة التعثرات في الدروس الأولى (مثل الاتصال والنهايات) لأن الدروس القادمة تبنى عليها بشكل تراكمي.
هل الأعداد العقدية درس صعب في الثانية باك؟
على العكس، يعتبر درس الأعداد العقدية من أسهل الدروس المضمونة في الامتحان الوطني إذا تم إتقان التحويلات الجبرية الأساسية، والشكل المثلثي، وصيغ التحويلات الهندسيّة (الدوران والتحاكي).
كم عدد دروس الرياضيات في الثانية باك؟
يبلغ عدد الدروس الأساسية المشتركة بين المسالك العلمية حوالي 9 إلى 10 دروس رئيسية مقسمة على دورتين، وتزداد إلى 12 درسًا بالنسبة لشعبة العلوم الرياضية.
هل التمارين والمفاهيم المذكورة مطابقة للمنهج المغربي 2026؟
نعم، هذا الدليل مطبق تمامًا وفق التوجيهات التربوية والأطر المرجعية الرسمية الصادرة عن وزارة التربية الوطنية المغربية لجميع مسالك الباكالوريا.
أين أجد نماذج امتحانات وطنية سابقة مع التصحيح؟
يمكنك الاطلاع على نماذج الامتحانات الوطنية السابقة عبر البوابات التعليمية الرسمية، أو الاستفادة من السلاسل والملفات المتاحة للتحميل عبر موقعنا لتغطية جميع الدورات العادية والاستدراكية.
خاتمة عملية
تتطلب مادة الرياضيات في الثانية باكالوريا المزاوجة بين الاستيعاب النظري للقواعد والممارسة التطبيقية المكثفة. اجعل من الأخطاء التي تقع فيها أثناء حل التمارين فرصة لتثبيت الفهم، وثق بأن الالتزام بالتدرج المنهجي والتدرب المستمر هو السبيل المؤكد للحصول على أعلى العلامات في الامتحان الوطني.