تعتبر التمارين السلسة والمسائل التطبيقية في مادة الرياضيات للجذع المشترك (العلمي والتكنولوجي والأدبي) لعام 2026 المفتاح الأساسي لاستيعاب القواعد واكتساب مهارات البرهان والتحليل الرياضي. يغطي هذا المرجع التقييمي الشامل كافة المحاور المقرر تدريسها في الدورتين الأولى والثانية وفق المنهاج الحديث، بما في ذلك مبادئ الحسابيات، المجموعات، الحساب العددي، الدوال العددية، الحساب المثلثي، الهندسة التحليلية والفضائية، لمساعدة المتعلمين على الاستعداد والتحضير للتمارين وفروض المراقبة المستمرة.
1. تمارين وتطبيقات درس الحسابيات في المجموعة N (الأعداد الصحيحة الطبيعية)
يهدف هذا الدرس إلى ترسيخ مفاهيم الزوجية، القاسم المشترك الأكبر (PGCD)، المضاعف المشترك الأصغر (PPCM)، والأعداد الأولية.
أ. تمارين الزوجية والتفكيك إلى عوامل أولية
• التمرين الأول (تفكيك الأعداد): تفكيك العددين a = 360 و b = 252 إلى جداء عوامل أولية.
- الحل النموذجي:
360 = 2³ × 3² × 5
252 = 2² × 3² × 7
• التمرين الثاني (حساب PGCD و PPCM):
- القاسم المشترك الأكبر PGCD(360, 252) = 2² × 3² = 36 (الأجداء المشتركة بأصغر أُس).
- المضاعف المشترك الأصغر PPCM(360, 252) = 2³ × 3² × 5 × 7 = 2520 (الأجداء المشتركة وغير المشتركة بأكبر أُس).
ب. تمارين البرهان على الزوجية
• مسألة تطبيقية: ليكن n عدداً صحيحاً طبيعياً. بين أن العدد A = n² + n + 6 هو عدد زوجي لجميع قيم n.
• عنصر الإجابة والبرهان: نكتب A على الشكل A = n(n + 1) + 6. نعلم أن الجداء n(n + 1) هو جداء عددين متتاليين فهو دائماً عدد زوجي، وبالتالي يكتب على الشكل 2k. إذن A = 2k + 6 = 2(k + 3)، وبما أن (k + 3) عدد صحيح طبيعي، فإن A عدد زوجي.
2. تمارين المجموعة R والمجموعات الضمنية والترتيب في R (المجالات والالقيمة المطلقة)
تركز تطبيقات هذا المكون على التمييز بين المجموعات (N, Z, D, Q, R) وتأطير الأعداد وحل المترجحات والمتبادلات باستعمال القيم المطلقة والمجالات.
أ. تمارين الانتماء والشمول والمجموعات العددية
ضع الرمز المناسب (∈ أو ∉) لكل حالة من الحالات التالية:
• العدد √2 ينتمي لـ R ولكنه لا ينتمي لـ Q (أدوات الأعداد الصماء): √2 ∈ R و √2 ∉ Q.
• العدد 3/8 يكتب 0.375 (عدد عشري له أرقام منتهية بعد الفاصلة): 3/8 ∈ D.
ب. تمارين التأطير والقيمة المطلقة والحصر
• تطبيق التأطير: ليكن x و y عددين حقيقيين بحيث: 2 ≤ x ≤ 5 و -3 ≤ y ≤ -1.
1. تأطير x + y: لدينا 2 + (-3) ≤ x + y ≤ 5 + (-1) إذن -1 ≤ x + y ≤ 4.
2. تأطير x - y: نؤطر أولاً -y فتصبح 1 ≤ -y ≤ 3، ثم نجمع: 2 + 1 ≤ x + (-y) ≤ 5 + 3 إذن 3 ≤ x - y ≤ 8.
• تمرين المعادلة بالقيمة المطلقة: حل في R المعادلة |x - 3| = 5.
- الحل: |x - 3| = 5 تعني أن x - 3 = 5 أو x - 3 = -5، أي x = 8 أو x = -2. مجموعة الحلول هي: S = {-2, 8}.
3. تمارين وتطبيقات الحساب المتجهي والإسقاط في المستوى
تختبر أسئلة هذا القسم قدرة التلميذ على تطبيق علاقة شال، استقامية نقطتين أو متجهتين، وتبسيط التعبير المتجهي واستعمال خاصيات الإسقاط.
أ. تبسيط التعابير المتجهية وعلاقة شال
• تمرين التبسيط: بّسط المتجهة التالية: u = AB + 2BC + CA + CB.
- الحل: باستعمال علاقة شال وتجميع الأطراف:
u = (AB + BC) + BC + CA + CB = AC + CA + BC + CB = AA + BB = 0 (المتجهة المنعدمة).
ب. تمارين استقامية متجهتين وإنشاء النقط
ليكن ABC مثلثاً. نعتبر النقطتين E و F بحيث: AE = 3AB و AF = 3AC.
• المطلوب: بين أن المتجهتين EF و BC متوازيتان (مستقيمان متوازيان).
• البرهان: حسب علاقة شال: EF = EA + AF = -3AB + 3AC = 3(AC - AB) = 3(AC + BA) = 3BC.
بما أن EF = 3BC، فإن المتجهتين EF و BC كولينير (مستقيميتان)، وبالتالي المستقيمان (EF) و (BC) متوازيان.
4. تمارين الهندسة التحليلية في المستوى (المستقيم والمعادلة الدكارتية)
تشمل الهندسة التحليلية معلم المستوى، إحداثيات متجهة، القيمة المحددة (Déterminant)، والمعادلات المباشرة للمستقيمات.
أ. تمارين المحددة واستقامية النقط (Déterminant)
في معلم متعامد ممنظم (O, i, j)، نعتبر المتجهتين: u(2, 4) و v(-1, 3).
• حساب المحددة: det(u, v) = (2 × 3) - (4 × -1) = 6 - (-4) = 6 + 4 = 10.
• الاستنتاج: بما أن det(u, v) ≠ 0 فإن المتجهتين u و v غير مستقيميتين.
ب. تمارين تحديد المعادلة الدكارتية للمستقيم
حدد المعادلة الدكارتية للمستقيم (D) المار من النقطة A(1, 2) والوجه بالمتجهة u(-3, 2).
• طريقة الحل: لتكن M(x, y) نقطة تنتمي إلى (D). تكون M تنتمي إلى (D) إذا وفقط إذا كانت AM و u مستقيميتين، أي det(AM, u) = 0.
لدينا AM(x - 1, y - 2) و u(-3, 2).
det(AM, u) = 2(x - 1) - (-3)(y - 2) = 2x - 2 + 3y - 6 = 2x + 3y - 8.
إذن المعادلة الدكارتية للمستقيم (D) هي: 2x + 3y - 8 = 0.
5. تمارين وتطبيقات الدوال العددية (مجموعة التعريف، التغيرات، والتمثيل البياني)
تعد الدوال العددية محوراً أساسياً يمتد لسلك البكالوريا، ويركز هذا الدرس على تحديد مجالات التعريف، زوجية الدالة، ودراسة الرتابة.
أ. تمارين تحديد مجموعة تعريف الدالة (Df)
| صيغة الدالة f(x) | الشرط الرياضياتي | مجموعة التعريف Df |
|---|---|---|
| f(x) = 2x³ - 5x + 1 (حدودية) | بدون شروط (لا جذر ولا مقام) | Df = R |
| f(x) = (3x + 1) / (x - 2) (نطقية) | المقام يخالف الصفر: x - 2 ≠ 0 | Df = R \ {2} |
| f(x) = √(2x - 4) (جذرية) | ما داخل الجذر موجب: 2x - 4 ≥ 0 | Df = [2, +∞[ |
ب. تمارين دراسة زوجية الدالة (دالة زوجية / فردية)
ادرس زوجية الدالة f(x) = x² / (|x| + 1).
1. مجموعة تعريف الدالة هي Df = R وهي متماثلة بالنسبة للصفر (لكل x من R فإن -x تنتمي لـ R).
2. حساب f(-x):
f(-x) = (-x)² / (|-x| + 1) = x² / (|x| + 1) = f(x).
• النتيجة: الدالة f دالة **زوجية** (منحناها متماثل بالنسبة لمحور الأراتيب).
6. تمارين الحساب المثلثي (الدائرة المثلثية، النسب، والمعادلات)
يتضمن هذا المحور الأفصول المنحني الرئيسي، التحويل بين الراديان والدرجة، وتبسيط صيغ الجيب والجتا والظل وتطبيق القوانين الأساسية.
أ. تمارين تبسيط التعابير المثلثية
بّسط التعبير التالى: A(x) = cos(π - x) + sin(π/2 - x) - cos(-x) + sin(π + x).
• القواعد المستعملة:
- cos(π - x) = -cos(x)
- sin(π/2 - x) = cos(x)
- cos(-x) = cos(x)
- sin(π + x) = -sin(x)
• التعويض والتبسيط: A(x) = -cos(x) + cos(x) - cos(x) - sin(x) = -cos(x) - sin(x).
ب. تمارين حل المعادلات المثلثية
حل في المجال [0, 2π] المعادلة التالية: cos(x) = 1/2.
• طريقة الحل: نعلم أن cos(π/3) = 1/2.
إذن الحلول العامّة هي: x = π/3 + 2kπ أو x = -π/3 + 2kπ (مع k ∈ Z).
بتحديد القيم داخل المجال [0, 2π] نجد الحلين: x = π/3 و x = 5π/3.
• مجموعة الحلول: S = {π/3, 5π/3}.
7. تمارين الهندسة الفضائية (الأوضاع النسبية للمستقيمات والمستويات)
تطبيق مفاهيم التوازي والتطابق والتسامت وتقاطع المستويات في المجسمات الاعتيادية المكعب، متوازي المستطيلات، والهرم.
أ. مسألة تطبيقية في المكعب (ABCDEFGH)
ليكن ABCDEFGH مكعباً في الفضاء.
• السؤال الأول: بين الوضع النسبي للمستقيم (AB) والمستوى (CDHG).
الإجابة: المستقيم (AB) يوازي المستقيم (CD) الموجد داخل المستوى (CDHG)، إذن المستقيم (AB) يوازي المستوى (CDHG).
• السؤال الثاني: حدد تقاطع المستوى (ABC) والمستوى (EHG).
الإجابة: المستويان (ABC) و (EHG) مستويان متوازيان تماماً (لا يتقاطعان)، إذن تقاطعهما هو المجموعة الفارغة ∅.
8. نموذج فرض محروس شامل لجميع دروس الدورة الأولى (اختبار تجريبي)
يتكون الفرض المحروس النموذجي لمادة الرياضيات من ثلاثة تمارين أساسية تغطي الدروس المنجزة:
التمرين الأول (4 نقاط):
1. فكك العدد 1200 والعدد 450 إلى جداء عوامل أولية.
2. احسب PGCD(1200, 450) و PPCM(1200, 450).
3. بسّط العدد A = √(1200) / 450.
التمرين الثاني (8 نقاط):
نعتبر الدالة f المعرفة بـ: f(x) = (2x - 1) / (x + 1).
1. حدد Df مجموعة تعريف الدالة f.
2. احسب صور النقط 0 و 2 بالدالة f.
3. حدد سابق العدد 3 بالدالة f.
4. ادرس معدل تغير الدالة f بين x1 و x2 واستنتج رتابتها.
التمرين الثالث (8 نقاط):
في معلم متعامد ممنظم (O, i, j)، نعتبر النقط A(2, 1) و B(-1, 3) و C(0, -2).
1. احسب إحداثيات المتجهة AB والمسافة AB.
2. حدد المعادلة الدكارتية للمستقيم (AB).
3. حدد معادلة المستقيم (Δ) المار من C والموازي للمستقيم (AB).
9. أهم النصائح المنهجية للتفوق في رياضيات الجذع المشترك
لتحقيق نقط عالية في الفروض والتمارين المنزلية، يُنصح بإتباع الخطوات التالية:
• كتابة خطوات البرهان بوضوح: استخدم الروابط المنطقية الرياضية مثل (بما أن... فإن...)، و(يعني أن)، و(وبالتالي)، لتنظيم ورقة التحرير.
• التمرس المباشر على التمارين: تجنب قراءة الحلول جاهزة، بل يجب محاولة حل المسألة أولاً بالورقة والقلم قبل الاطلاع على التصحيح.
• ضبط القوانين والخاصيات: حفظ الشروط المحددة لكل خاصية (مثل شرط المقام يخالف الصفر، وما داخل الجذر أكبر من أو يساوي الصفر).
تحميل سلاسل تمارين مادة الرياضيات الجذع المشترك 2026 مع التصحيح PDF
التدريب المستمر وحل السلاسل المتنوعة من التمارين هو الطريق الأمثل للتمكن من التقنيات الرياضية واجتياز الفروض بنجاح والتفوق في مادة الرياضيات للجذع المشترك.
نوفر لكم رابطاً مباشراً لـ **تحميل الحقيبة الشاملة لسلاسل تمارين مادة الرياضيات الجذع المشترك (العلمي والتكنولوجي والأدبي) PDF لعام 2026 مع الحلول والشرح المفصل**. تحتوي هذه الحقيبة التربوية على تمارين مقسمة حسب كل درس، تمارين داعمة مع التصحيح خطوة بخطوة، ونماذج امتحانات وفروض محروسة محلولة للدورة الأولى والدورة الثانية، لمساعدتكم على التحضير الفعال واكتساب مهارات البرهان بكل ثقة.
للمزيد من الدروس والتمارين، يمكنك مراجعة جميع تمارين وفروض الجذع المشترك .