تُشكل مادة الرياضيات الركيزة الأساسية لمسار السنة الأولى بكالوريا شعبة العلوم التجريبية، العلوم الرياضية، والعلوم والتكنولوجيات. يتطلب التفوق في هذه المادة الانتقال من الحفظ السطحي للقواعد إلى الاستيعاب المنهجي والعميق للمفاهيم الرياضية، والتمرس على آليات البرهان والتفكير المنطقي، ودراسة الدوال وتحليل المتتاليات والمهارات الهندسة التحليلية. يهدف هذا المقال إلى تقديم دليل تطبيقي متكامل يجمع بين ملخصات الضوابط والتمارين المحلولة بالتفصيل لتغطية كافة محاور المقرر الموحد لدورة 2026.
1. درس المبادئ في المنطق (Logique Mathématique) — تمارين وبراهين
يُعد درس المنطق حجر الأساس لبناء الاستدلال الرياضي السليم عبر استخدام العبارات، الكممات، وأنواع البراهين المختلفة (الاستلزام العكسي، الخُلف، التكافؤات المتتالية، الترجّع).
تمرين تطبيق (أنواع البراهين):
السؤال 1 (البرهان بالخلف): بين أن العدد √2 لا ينتمي إلى المجموعة Q (أي: √2 ∉ Q).
السؤال 2 (البرهان التكافئي): بين أنه لكل a و b من R⁺: a + b = 0 ⇔ (a = 0 و b = 0).
السؤال 3 (البرهان بالترجع): بين بالترجع أنه لكل n من N* (مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية غير المنعدمة):
1 + 2 + 3 + ... + n = [n(n + 1)] / 2
عنصر الإجابة والحل التفصيلي للسؤال 3:
• مرحلة الأساس (n = 1): من أجل n = 1 الطرف الأيسر يساوي 1، والطرف الأيمن [1(1+1)]/2 = 1. العبارة صحيحة.
• مرحلة الوراثة: نفترض أن العبارة صحيحة لأجل عدد طبيعي غير منعدم n، ونبين صحتها من أجل (n + 1)، أي نبين أن:
1 + 2 + ... + n + (n + 1) = [(n + 1)(n + 2)] / 2.
لدينا حسب فرضية الترجع: 1 + ... + n + (n + 1) = [n(n + 1)] / 2 + (n + 1) = (n + 1) [n/2 + 1] = [(n + 1)(n + 2)] / 2.
• الخلاصة: حسب مبدأ الترجع، فإن الصيغة صحيحة لكل n ∈ N*.
2. درس العموميات حول الدوال العددية (Généralités sur les Fonctions)
يركز هذا المحور على تحديد مجموعة التعريف، الشفعية (دالة زوجية / فردية)، الدورية، مكبورة/مصغورة، وتغيرات مركب دالتين.
تمرين شامل حول دراسة الدالة العددية:
لتكن f دالة عددية معرفة بـ: f(x) = (2x² + 1) / (x² + 1).
1. حدد Df مجموعة تعريف الدالة f.
2. ادرس شفعية الدالة f.
3. بين أن الدالة f مكبورة بالعدد 2 ومصغورة بالعدد 1 على R.
الحل النموذجي:
1. مجموعة التعريف: Df = {x ∈ R / x² + 1 ≠ 0}. بما أن x² + 1 > 0 لكل x من R، فإن Df = R.
2. الشفعية: لكل x من R لدينا -x ينتمي لـ R، و f(-x) = [2(-x)² + 1] / [(-x)² + 1] = (2x² + 1) / (x² + 1) = f(x). إذن الدالة f زوجية.
3. التكبير والتصغير:
• لحساب 2 - f(x): 2 - [(2x² + 1) / (x² + 1)] = [2(x² + 1) - (2x² + 1)] / (x² + 1) = 1 / (x² + 1) > 0 ⇒ f(x) < 2. إذن f مكبورة بـ 2.
• لحساب f(x) - 1: [(2x² + 1) / (x² + 1)] - 1 = x² / (x² + 1) ≥ 0 ⇒ f(x) ≥ 1. إذن f مصغورة بـ 1.
3. المتتاليات العددية (Suites Numériques) — الحسابية والهندسية
تعد المتتاليات من أهم أدوات النمذجة الرياضية، وتشمل المتتاليات الحسابية والهندسية وحساب المجموع النوني والتطرق لمفهوم التقارب.
| نوع المتتالية | الصيغة الصريحة للحد العام un | مجموع الحدود المتتابعة Sn |
|---|---|---|
| حسابية (أساسها r) | un = up + (n - p)r | S = (عدد الحدود / 2) × (الحد الأول + الحد الأخير) |
| هندسية (أساسها q ≠ 1) | un = up × q(n-p) | S = الحد الأول × [(1 - qعدد الحدود) / (1 - q)] |
تمرين تطبيقي مركّب:
لتكن (un) متتالية معرفة بـ: u0 = 2 و un+1 = (1/3)un + 2 لكل n من N.
ونعتبر المتتالية المعونة (vn) المحددة بـ: vn = un - 3.
1. بين أن المتتالية (vn) هندسية محدداً أساسها q وحدها الأول v0.
2. اكتب vn بدلالة n، ثم استنتج un بدلالة n.
3. احسب المجموع Sn = v0 + v1 + ... + vn.
4. النهايات، الاشتقاق وتطبيقاته (Limites et Dérivation)
دراسة النهايات وحساب مشتقات الدوال الاعتيادية ودراسة التغيرات ورسم المنحنيات البيانية (Cf).
حساب نهايات مرجعية وإزالة الأشكال غير المحددة (F.I)
الأشكال غير المحددة هي: 0/0، ∞/∞، 0 × ∞، و (+∞) + (-∞).
• تمرين: احسب النهايات التالية:
A = lim x → 2 [(x² - 4) / (x - 2)]
B = lim x → +∞ [√(x² + 1) - x]
• طريقة الحل:
في النقطة A نقوم بالتعميل ثم الاختزال بـ (x - 2) فتكون النهاية 4.
في B نضرب ونقسم على المرافق [√(x² + 1) + x] فتصبح النهاية 0.
قواعد الاشتقاق الأساسية ورسم جدول التغيرات
• (u · v)' = u'v + uv'
• (u / v)' = (u'v - uv') / v²
• (un)' = n · u' · un-1
إشارة المشتقة f'(x) هي التي تحدد رتابة الدالة f: إذا كانت f'(x) ≥ 0 فإن الدالة تزايدية، وإذا كانت f'(x) ≤ 0 فإن الدالة تناقصية.
5. الهندسة التحليلية والجداء السلمي في المستوى (Produit Scalaire)
استعمال الجداء السلمي لحساب المسافات، الزوايا، معادلة المستقيم، ومعادلة الفلكة/الدائرة:
تطبيق هندسي (معادلة الدائرة):
في مستوى منسوب إلى معلم متعامد منظم (O, i, j)، نعتبر النقط A(1, 2) و B(-1, 4).
1. حدد معادلة دكارتية للدائرة (C) التي قطرها [AB].
2. طريقة الحل: النقطة M(x, y) تنتمي إلى (C) ⇔ المتجهة AM · المتجهة BM = 0.
إحداثيات المتجهة AM هي (x - 1, y - 2) والمتجهة BM هي (x + 1, y - 4).
الجداء السلمي: (x - 1)(x + 1) + (y - 2)(y - 4) = 0 ⇔ x² - 1 + y² - 6y + 8 = 0.
إذن معادلة الدائرة هي: x² + y² - 6y + 7 = 0.
6. تحميل تمارين دروس مادة الرياضيات الأولى باك 2026 PDF
تسهيلاً لعملية التمرن والمراجعة المستمرة، وفرنا لكم روابط مباشرة وقابلة للطباعة تتضمن سلاسل التمارين المحلولة بكامل التفاصيل مع فروض ومحروضة منزلية واختبارات سابقة بصيغة PDF جاهزة للتحميل.
قائمة الملفات والسلاسل المتاحة للتحميل المباشر:
- تحميل تمارين دروس مادة الرياضيات الأولى باك 2026 PDF: كراسة السلسلة الشاملة لجميع المحاور المقررة للدورتين الأولى والثانية مع التصحيح المفصل.
- تحميل سلاسل تمارين درس المنطق والعموميات حول الدوال الأولى بكالوريا PDF: تمارين متدرجة من المستوى المباشر إلى مستويات التميز والبراهين.
- تحميل تمارين المتتاليات العددية ودراسة الدوال مع التصحيح PDF: خطاطات مبسطة وتطبيقات حول المتتاليات الهندسية والحسابية وعمليات النهايات.
- تحميل فروض الرياضيات الأولى باك علوم تجريبية ورياضية مع التصحيح PDF: تجميعية نماذج الفروض المراقبة المستمرة للموسم الدراسي الجديد.