يتناول هذا المرجع الشامل مقرر **مادة الرياضيات للسنة الأولى بكالوريا (شعبة العلوم التجريبية، العلوم الرياضية، والعلوم والتكنولوجيات)** للعام الدراسي 2026/2027. يقدم هذا الدليل ملخصاً مكثفاً لكافة المفاهيم النظرية، التعاريف، والقواعد الأساسية المقررة في الأسدسين الأول والثاني، مدعومة بتمارين تطبيقية مصححة خطوة بخطوة للتمكن من أساليب الحل والبرهنة الرياضية.
فهرس الدروس المشمولة في المقرر
دروس الأسدس الأول
• مبادئ في المنطق الرياضي (Notions de logique)
• العموميات حول الدوال العددية (Généralités sur les fonctions)
• المتتاليات العددية (Suites numériques)
• الحساب المثلثي (Calcul trigonométrique)
• المرجح في المستوى (Barycentre dans le plan)
دروس الأسدس الثاني
• نهايات دالة عددية (Limites d'une fonction)
• الاشتقاق وتطبيقاته (Dérivation et applications)
• دراسة الدوال وتمثيلها البياني (Étude des fonctions)
• الجداء السلمي وتطبيقاته والدائرة (Produit scalaire et cercle)
الجزء الأول: ملخصات دروس الأسدس الأول مع تمارين تطبيقية
1. مبادئ في المنطق الرياضي (Notions de Logique)
الملخص النظري:
• العبارة: نص رياضي يحتمل معنى واحداً فقط: إما صحيح وإما خاطئ.
• الاستلزام العكسي: لإثبات أن "A تستلزم B"، يمكن إثبات أن "نفي B يستلزم نفي A".
• البرهان بالترجع: يُستخدم لإثبات صحة عبارة من أجل كل عدد طبيعي n ينتمي للمجموعة N. يتكون من:
1. التحقق من أجل الحد الأول n0.
2. فرض صحة العبارة من أجل n.
3. البرهنة على صحة العبارة من أجل n + 1.
تمرين تطبيقي 1 (البرهان بالترجع):
بين بالترجع أن لكل عدد صحيح طبيعي n غير منعدم: المجموع 1 + 2 + 3 + ... + n يساوي [n × (n + 1)] / 2.
الحل المصحح:
1. مرحلة التحقق: من أجل n = 1: الطرف الأول = 1. الطرف الثاني = [1 × (1 + 1)] / 2 = 2 / 2 = 1. العبارة صحيحة من أجل n = 1.
2. فرضية الترجع: نفترض أن 1 + 2 + ... + n = [n(n + 1)] / 2 صحيحة.
3. البرهان من أجل (n + 1): نجمع (n + 1) للطرفين: (1 + 2 + ... + n) + (n + 1) = [n(n + 1)] / 2 + (n + 1).
بتوحيد المقامات: [(n(n + 1)) + 2(n + 1)] / 2 = [(n + 1)(n + 2)] / 2.
وبالتالي، العبارة صحيحة لكل n ينتمي لـ N*.
2. العموميات حول الدوال العددية (Généralités sur les Fonctions)
الملخص النظري:
• مجموعة التعريف: الشروط الأساسية: إذا كانت f(x) تحتوي كسر فإن المقام ≠ 0، وإذا كانت تحتوي جذراً مربعاً فإن ما داخل الجذر ≥ 0.
• الدالة الزوجية: يكون مجال التعريف متماثلاً بالنسبة للصفر، وتتحقق الصيغة f(-x) = f(x). المنحنى متماثل بالنسبة لمحور الأراتيب.
• الدالة الفردية: يكون المجال متماثلاً وتتحقق الصيغة f(-x) = -f(x). المنحنى متماثل بالنسبة لمركز أصل المعلم.
تمرين تطبيقي 2 (دراسة الزوجية ومجموعة التعريف):
لتكن الدالة f(x) = x / (x² - 1). حدد Df ثم ادرس زوجية الدالة.
الحل المصحح:
1. مجموعة التعريف: تنتمي x لـ Df إذا كان x² - 1 ≠ 0، أي x² ≠ 1 مما يعني x ≠ 1 و x ≠ -1. إذن Df = R \ {-1, 1}.
2. دراسة الزوجية: لكل x من Df، فإن (-x) ينتمي لـ Df لأن المجال متماثل حول 0.
نحسب f(-x): f(-x) = (-x) / ((-x)² - 1) = -x / (x² - 1) = -f(x).
بما أن f(-x) = -f(x)، فإن الدالة f هي دالة فردية.
3. المتتاليات العددية (Suites Numériques)
الملخص النظري:
• المتتالية الحسابية: Un+1 = Un + r (حيث r هو الأساس). الحد العام: Un = Up + (n - p)r.
• المتتالية الهندسية: Vn+1 = q × Vn (حيث q هو الأساس). الحد العام: Vn = Vp × q^(n-p).
• مجموع حدود متتالية هندسية: S = Vp × [(1 - q^N) / (1 - q)] حيث N هو عدد الحدود المساوي لـ (الحد الأخير - الحد الأول + 1).
تمرين تطبيقي 3 (حساب حدود متتالية هندسية):
لتكن (Vn) متتالية هندسية حدها الأول V0 = 3 وأساسها q = 2. أحسب V5 والمجموع S = V0 + V1 + ... + V5.
الحل المصحح:
1. حساب V5: باستعمال صيغة الحد العام Vn = V0 × q^n، نجد V5 = 3 × 2^5 = 3 × 32 = 96.
2. حساب المجموع S: عدد الحدود من V0 إلى V5 هو (5 - 0 + 1) = 6 حدود.
S = V0 × [(1 - q^6) / (1 - q)] = 3 × [(1 - 2^6) / (1 - 2)] = 3 × [(1 - 64) / (-1)] = 3 × 63 = 189.
4. الحساب المثلثي (Calcul Trigonométrique)
القواعد الذهبية:
• cos²(x) + sin²(x) = 1
• cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
• sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
• cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2cos²(a) - 1 = 1 - 2sin²(a)
• sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
تمرين تطبيقي 4 (تبسيط التعبير المثلثي):
بسط التعبير التالية: A(x) = cos(x + π) + sin(π/2 - x) + cos(-x).
الحل المصحح:
باستعمال العلاقات الاعتيادية على الدائرة المثلثية:
• cos(x + π) = -cos(x)
• sin(π/2 - x) = cos(x)
• cos(-x) = cos(x)
نعوض بالتعبير: A(x) = -cos(x) + cos(x) + cos(x) = cos(x).
5. المرجح في المستوى (Barycentre dans le Plan)
الملخص النظري:
• تكون النقطة G مرجح الجملة المتزنة {(A, a), (B, b)} إذا وفقط إذا كان a + b ≠ 0 وتحقق شرط المتجهة المنعدمة: a.GA + b.GB = 0.
• خاصية الاختزال: لأي نقطة M من المستوى: a.MA + b.MB = (a + b)MG.
• إحداثيات المرجح: xG = (a.xA + b.xB) / (a + b) و yG = (a.yA + b.yB) / (a + b).
تمرين تطبيقي 5 (تحديد مكان المرجح):
لتكن A و B نقطتين من المستوى. حدد إنشاء النقطة G مرجح الجملة {(A, 2), (B, 3)}.
الحل المصحح:
مجموع المعاملات a + b = 2 + 3 = 5 ≠ 0 (إذن المرجح موجود وفريد).
نستعمل العلاقة المتجهية للإنشاء: AG = [b / (a + b)] AB.
بالتعويض: AG = (3 / 5) AB.
إنشاء النقطة: نقسم قطعة المستقيم AB إلى 5 أجزاء متساوية، وتكون النقطة G تبعد عن A بثلاثة أجزاء باتجاه B.
الجزء الثاني: ملخصات دروس الأسدس الثاني مع تمارين تطبيقية
1. نهايات دالة عددية (Limites d'une Fonction)
الأشكال غير المحددة (F.I): [0 / 0]، [∞ / ∞]، [0 × ∞]، و [+∞ - ∞].
تقنيات رفـع الإبهام:
• التعميل بالحد الأكبر درجة عند اللانهاية في حدودية أو دالة جذرية.
• الضرب في المرافق عند وجود الجذر المربع والشكل [0 / 0] أو [+∞ - ∞].
• استخدام النهاية الاعتيادية: lim (x->0) [sin(x) / x] = 1.
تمرين تطبيقي 6 (رفع الشكل غير المحدد بالضرب في المرافق):
أحسب النهاية التالية: lim (x->1) [ (√(x) - 1) / (x - 1) ].
الحل المصحح:
التعويض المباشر يعطي (1 - 1)/(1 - 1) = 0/0 (شكل غير محدد).
نضرب البسط والمقام في المرافق (√(x) + 1):
[(√(x) - 1)(√(x) + 1)] / [(x - 1)(√(x) + 1)] = (x - 1) / [(x - 1)(√(x) + 1)].
نختزل بـ (x - 1): التعبير يصبح 1 / (√(x) + 1).
نحسب النهاية عند x->1: 1 / (√1 + 1) = 1 / 2.
2. الاشتقاق وتطبيقاته (Dérivation)
قواعد المشتقات الاعتيادية:
• (x^n)' = n . x^(n-1)
• (1 / x)' = -1 / x²
• (√x)' = 1 / (2√x)
• (u . v)' = u'v + uv'
• (u / v)' = (u'v - uv') / v²
معادلة المماس عند x0: (T): y = f'(x0)(x - x0) + f(x0).
تمرين تطبيقي 7 (معادلة المماس ودراسة المشتقة):
لتكن f(x) = x³ - 3x. احسب f'(x) ثم أوجد معادلة المماس عند النقطة ذات الأوفست x0 = 2.
الحل المصحح:
1. حساب المشتقة: f'(x) = 3x² - 3.
2. حساب الصورة والعدد المشتق:
• f(2) = 2³ - 3(2) = 8 - 6 = 2.
• f'(2) = 3(2)² - 3 = 12 - 3 = 9.
3. معادلة المماس: y = f'(2)(x - 2) + f(2) => y = 9(x - 2) + 2 => y = 9x - 18 + 2 => y = 9x - 16.
3. دراسة الدوال والفروع اللانهائية (Étude des Fonctions)
الفروع اللانهائية والمقاربات:
• إذا كانت lim (x->a) f(x) = ±∞، فإن المستقيم ذو المعادلة x = a مقارب عمودي.
• إذا كانت lim (x->±∞) f(x) = b، فإن المستقيم ذو المعادلة y = b مقارب أفقي عند اللانهاية.
• إذا كانت lim (x->±∞) [f(x) - (ax + b)] = 0، فإن المستقيم y = ax + b مقارب مائل.
تمرين تطبيقي 8 (تحديد المقارب المائل):
لتكن f(x) = 2x + 1 + (1 / x). بين أن المستقيم (D) ذو المعادلة y = 2x + 1 مقارب مائل لمنحنى الدالة بجوار +∞.
الحل المصحح:
نحسب نهاية الفرق [f(x) - y] عند +∞:
lim (x->+∞) [ (2x + 1 + 1/x) - (2x + 1) ] = lim (x->+∞) (1 / x).
نعلم أن lim (x->+∞) (1 / x) = 0.
بما أن النهاية تساوي 0، فإن المستقيم (D): y = 2x + 1 مقارب مائل لمنحنى الدالة بجوار +∞.
4. الجداء السلمي وتطبيقاته المعادلة الديكارتية للدائرة (Produit Scalaire)
الصيغ التحليلية:
• الجداء السلمي لمتجهتين: u(x, y) و v(x', y') هو: u . v = x.x' + y.y'.
• معادلة الدائرة (C) ذات المركز Ω(a, b) والشعاع R هي: (x - a)² + (y - b)² = R².
• مسافة نقطة A(xA, yA) عن مستقيم (D): ax + by + c = 0:
d(A, D) = |a.xA + b.yA + c| / √(a² + b²).
تمرين تطبيقي 9 (حساب مسافة نقطة عن مستقيم والمعادلة الديكارتية):
1. اكتب المعادلة الديكارتية للدائرة التي مركزها Ω(1, 2) وشعاعها R = 3.
2. احسب مسافة النقطة A(3, 4) عن المستقيم (D): 3x + 4y - 5 = 0.
الحل المصحح:
1. معادلة الدائرة: (x - 1)² + (y - 2)² = 3² => (x - 1)² + (y - 2)² = 9.
بتفكيك المتطابقات الهامة: x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 9 => x² + y² - 2x - 4y - 4 = 0.
2. مسافة النقطة A عن المستقيم (D):
d(A, D) = |3(3) + 4(4) - 5| / √(3² + 4²)
d(A, D) = |9 + 16 - 5| / √(9 + 16) = |20| / √25 = 20 / 5 = 4.
جدول مرجعي سريع لأهم المشتقات والنهايات الاعتيادية
| الدالة f(x) | المشتقة f'(x) | النهاية الاعتيادية والمرجع |
|---|---|---|
| a (عدد ثابت) | 0 | lim (x->0) [sin(x) / x] = 1 |
| x^n | n . x^(n-1) | lim (x->0) [(1 - cos(x)) / x²] = 1/2 |
| √x | 1 / (2√x) | lim (x->0) [tan(x) / x] = 1 |
| sin(x) | cos(x) | lim (x->+∞) (1 / x^n) = 0 |
| cos(x) | -sin(x) | lim (x->-∞) x² = +∞ |
الأسئلة الأكثر تكراراً حول امتحانات الرياضيات الأولى بكالوريا (FAQ)
ما هي الخطوات الإجرائية لفك شكل غير محدد يحتوي جذر مربع؟
عندما يؤول x إلى عدد ثابت وكانت النهاية تعطي 0/0، يتم الضرب في المرافق ثم التعميل بـ (x - a) والاختزال. أما إذا كان x يؤول إلى اللانهاية (+∞ أو -∞)، فيتم تعميل ما داخل الجذر بـ x² واستخراجه خارج الجذر بالقيمة المطلقة.
كيف يتم التمييز بين المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية؟
في المتتالية الحسابية يكون الفرق بين حدين متتاليين ثابتاً (Un+1 - Un = r)، بينما في المتتالية الهندسية تكون النسبة بين حدين متتاليين ثابتة (Un+1 / Un = q).
تحميل ملف ملخصات تمارين الرياضيات الأولى بكالوريا PDF
يمكن الاستفادة من هذه السلسلة من خلال ممارسة الحل المباشر دون الاطلاع على الحل المصحح إلا بعد التفكير الشخصي في خطوات البرهان.
يمكن **تحميل جميع ملخصات الرياضيات للسنة الأولى بكالوريا 2026/2027 بصيغة PDF** متضمنة تمارين إضافية محلولة بالكامل للاستعداد المباشر للفروض المحروسة والامتحانات الإقليمية.