تعتبر مادة الرياضيات في مرحلة الجذع المشترك العلمي والتكنولوجي القنطرة الأساسية والركيزة الأولى التي يبنى عليها المسار الأكاديمي للتلاميذ في سلك البكالوريا، خاصة للمتوجهين نحو شعب العلوم الرياضية أو التجريبية والتقنية. لا تعتمد هذه المادة على الحفظ العابر للصيغ، بل تتطلب بناء فكر تحليلي منطقي صارم، وتمثلاً عميقاً للمفاهيم الجبرية والهندسية. استعداداً للفروض المحروسة والاختبارات الدورية لعام 2026، نضع بين أيديكم الدليل المعرفي الشامل لملخصات دروس مادة الرياضيات الجذع المشترك. يتضمن هذا الدليل تفكيكاً شاملاً لكافة المحاور من الجبر والحسابيات إلى الهندسة المستوية والفضائية والتحليل، مصاغة بأسلوب دقيق معزز بالقوانين والخاصيات لضمان التفوق الأكاديمي وسد حاجيات المتعلمين المعرفية.
تم إعداد وتحيين هذه الملخصات الرياضية الشاملة وفق المنهاج التربوي الرسمي لوزارة التربية الوطنية لعام 2026، وذلك لمساعدة تلاميذ الجذع المشترك على ضبط الخاصيات الرياضية، وفهم آليات البرهنة، والتمكن من التقنيات الحسابية الأساسية للارتقاء في درجات التميز الدراسي وحصد العلامات الكاملة.
أولاً: محاور الجبر والحسابيات (الدورة الأولى)
يشمل القطب الجبري في الدورة الأولى بناء الأسس الحسابية والعددية وتطوير المهارات التحليلية من خلال دراسة المجموعات والترتيب والحدوديات والمعادلات والمجموعات العددية الموسعة:
1. درس الحسابيات في المجموعة N
يرتكز هذا الدرس على دراسة خصائص الأعداد الصحيحة الطبيعية وبنيتها ومفاهيمها الاستدلالية المباشرة:
- الأعداد الزوجية والأعداد الفردية: يكون العدد الصحيح الطبيعي a زوجياً إذا وجد عدد k من N بحيث يكون a مساوياً لـ 2 مضروبة في k (أي a = 2k). ويكون فردياً إذا وجد عدد k من N بحيث يكون a مساوياً لـ 2 مضروبة في k مضافاً إليها 1 (أي a = 2k + 1). دراسة زوجية تعبير تعتمد على تفكيك التعبير واستخراج العامل 2 لإثبات الزوجية أو الفردية.
- مضاعفات وقواسم عدد صحيح طبيعي: نقول إن العدد b يقسم العدد a، أو أن العدد a مضاعف للعدد b، إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k يحقق العلاقة الجُدائية: a = b x k. مثال: 15 مضاعف للعدد 5 لأن 15 تساوي 5 في 3.
- الأعداد الأولية: العدد الأولي هو كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 ويقبل قاسمين بالضبط هما: العدد 1 ونفسه فقط. قائمة الأعداد الأولية الأولى تشمل: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23. يلاحظ أن العدد 2 هو العدد الزوجي الأولي الوحيد. لتحديد ما إذا كان عدد ما أولياً، نقوم بقسمته على الأعداد الأولية المتتالية التي مربعها أصغر من أو يساوي هذا العدد.
- تفكيك الأعداد إلى جُداء عوامل أولية: كل عدد صحيح طبيعي غير أولي ولا يساوي 1 يمكن تفكيكه بشكل فريد إلى جُداء عوامل أولية مرفوعة إلى أسس معينة، وهذه العملية هي الحجر الأساس لحساب القواسم والمضاعفات المشتركة.
- المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر: لتحديد PPCM و PGCD لعددين صحيحين طبيعيين a و b، نتبع المنهجية التالية:
- القاسم المشترك الأكبر PGCD(a;b): هو جُداء العوامل الأولية المشتركة بين التفكيكين فقط، على أن تكون مرفوعة إلى أصغر أُس مشترك.
- المضاعف المشترك الأصغر PPCM(a;b): هو جُداء العوامل الأولية المشتركة وغير المشتركة بين التفكيكين معاً، على أن تكون مرفوعة إلى أكبر أُس ظهر في التفكيك.
2. درس المجموعات العددية والحساب الجبري
تصنيف وبنية المجموعات: يمتد الحساب الجبري في الرياضيات من الأعداد الصحيحة البسيطة إلى الأعداد الحقيقية الشاملة وفق علاقة التضمن البنيوية التالية: المجموعة N تقع ضمن المجموعة Z، والمجموعة Z تقع ضمن المجموعة D، والمجموعة D تقع ضمن المجموعة Q، والمجموعة Q تقع ضمن المجموعة R الكبرى.
- المجموعة N: مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية الموجبة التي لا تحتوي على فاصلة أو إشارة سالبة (مثل: 0، 1، 5، 100).
- المجموعة Z: مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية وتضم الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى نظائرها السالمة (مثل: -5، -1، 0، 3).
- المجموعة D: مجموعة الأعداد العشرية وهي كل عدد يمكن كتابته على شكل كسر بأساس عشري، أي على صورة (a / 10^n) حيث a عدد صحيح نسبي و n عدد صحيح طبيعي.
- المجموعة Q: مجموعة الأعداد الجذرية وتضم كل الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر حقيقي عادلي (a / b) حيث البسط a ينتمي إلى Z والمقام b ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة غير المنعدمة Z*.
- المجموعة R: مجموعة الأعداد الحقيقية وهي المجموعة الأم في هذا المستوى، وتضم جميع الأعداد السابقة بالإضافة إلى الأعداد اللاجذرية التي لا يمكن كتابتها على شكل كسر (مثل الجذور المربعة كالجذر المربع للعدد 2، والعدد الحقيقي بي π المستخدم في حساب الدائرة).
- المطابقات الهامة: يعتبر الحساب الجبري مهارة تقنية تستلزم ضبط النشر والتعميل بالاعتماد الكامل على العلاقات الرياضية الأساسية التالية:
العلاقة الأولى: ²(a + b) = a² + 2ab + b²
العلاقة الثانية: ²(a - b) = a² - 2ab + b²
العلاقة الثالثة: (a - b)(a + b) = a² - b²
العلاقة الرابعة لنشر التكعيب: ³(a + b) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
العلاقة الخامسة لنشر التكعيب السلبي: ³(a - b) = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
العلاقة السادسة لتعميل المكعبات: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
العلاقة السابعة لجمع المكعبات: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
3. درس الترتيب في المجموعة R
مقارنة عددين حقيقيين: لمقارنة عددين حقيقيين a و b، المنهجية الرياضية المتبعة هي دراسة إشارة فرقهما المباشر (a - b). إذا تبين بعد التبسيط أن الفرق (a - b) أكبر من أو يساوي 0، فإن العدد a أكبر من أو يساوي b. وإذا كان الفرق سالباً فإن b يكون هو الأكبر.
الخاصيات والعمليات على الترتيب: الترتيب يتلاءم بشكل مطلق مع عملية الجمع (إذا كان a أصغر من b فإن a + c يظل أصغر من b + c). أما في عملية الضرب، فإن الترتيب يحافظ على اتجاهه إذا ضربنا في عدد موجب قطعا، وينعكس اتجاه الترتيب تماماً إذا ضربنا طرفي المتفاوتة في عدد سالب قطعا.
المجالات والقيمة المطلقة:
- تعريف القيمة المطلقة: القيمة المطلقة للعدد الحقيقي x ونرمز لها بـ |x|، هي مسافة هذا العدد عن أصل المعلم، وتكون دائماً موجبة. رياضياً: |x| = x إذا كان x موجباً، و |x| = -x إذا كان x سالباً.
- خاصيات حيوية: الجذر المربع لـ x² يساوي دائماً القيمة المطلقة لـ x. كما أن القيمة المطلقة لجُداء عددين تساوي جُداء قيمتيهما المطلقتين بشكل مستقل: |x * y| = |x| * |y|.
- حل المعادلات والمتراجحات بالقيمة المطلقة:
- المعادلة: |x| = r (حيث r عدد موجب) تكافئ أن x = r أو x = -r.
- المتراجحة الأولى: |x| أصغر من أو يساوي r تكافئ أن x محصور بين -r و r.
- المتراجحة الثانية: |x| أكبر من أو يساوي r تكافئ أن x أكبر من r أو x أصغر من -r. - التأطير والتقريب: إذا كان x محصوراً بين a و b، فإن القيمة الحسابية (a + b) / 2 تسمى مركز هذا التأطير، بينما تسمى القيمة (b - a) / 2 سعة التأطير أو دقة التقريب المعتمدة.
4. درس الحدوديات والمعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى والثانية
الحدوديات: الحدودية هي تعبير رياضي يكتب على شكل مجموع مونومات (حدود) بصيغة P(x) = an x^n + ... + a1 x + a0. درجة الحدودية هي أكبر أُس يحتوي على معامل غير منعدم. نقول إن العدد الحقيقي α (ألفا) هو جذر للحدودية P(x) إذا كانت صورة ألفا منعدمة أي P(α) = 0. وفي هذه الحالة، تكون الحدودية قابلة للقسمة الإقليدية على التعبير (x - α).
المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد: هي كل معادلة تكتب على صيغة ثلاثية الحدود: ax² + bx + c = 0 مع شرط أساسي أن المعامل a لا يساوي الصفر. لحل هذه المعادلات، نعتمد على حساب المميز الحسابي المسمى دلتا (Δ = b² - 4ac) وعبر قيمته تتحدد طبيعة الحلول والاشارات كالآتي:
- الحالة الأولى (Δ أصغر قطعا من 0): لا توجد حلول حقيقية للمعادلة في المجموعة R (مجموعة الحلول فارغة). وتكون إشارة ثلاثية الحدود ax² + bx + c هي نفس إشارة المعامل a في جميع الأعداد الحقيقية.
- الحالة الثانية (Δ يساوي 0): تقبل المعادلة حلاً حقيقياً وحيداً يسمى حلاً مزدوجاً وقيمته هي: x0 = -b / 2a. وتكون إشارة ثلاثية الحدود هي نفس إشارة المعامل a دائماً على يمين ويسار الحل المزدوج.
- الحالة الثالثة (Δ أكبر قطعا من 0): تقبل المعادلة حلين حقيقيين متميزين ومختلفين يتم حسابهما بالقوانين التالية:
الحل الأول: x1 = (-b - √Δ) / 2a
الحل الثاني: x2 = (-b + √Δ) / 2a - جدول إشارة ثلاثية الحدود في حالة وجود حلين: لدراسة إشارة المتراجحات من الدرجة الثانية، نضع الحلول في جدول الترتيب؛ تكون الإشارة بين الجذرين (x1 و x2) هي **عكس إشارة المعامل a**، في حين تكون الإشارة خارج الجذرين (في الأطراف) هي **نفس إشارة المعامل a**.
ثانياً: محاور الهندسة المستوية والتحليلية
تنتقل الهندسة في مرحلة الجذع المشترك العلمي من الملاحظات الإنشائية البسيطة إلى مرحلة الصرامة البرهانية باستخدام المتجهات والإسقاط العمودي والمعادلات الديكارتية التحليلية:
1. درس الحساب المتجهي في المستوى
تعتبر المتجهات أداة رياضية قوية لحل المسائل الهندسية وإثبات العلاقات الاستقامية والتوازي:
- علاقة شال: لكل ثلاث نقط A و B و C متواجدة في المستوى، لدينا العلاقة التجمعية المتجهية الثابتة: المتجهة AB + المتجهة BC = المتجهة AC. تستعمل هذه العلاقة لتفكيك المتجهات المعقدة وتبسيط التعبيرات الهندسة.
- استقامية نقطتين ونقط المستوى: نقول إن المتجهتين u و v مستقيميتين إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي k يحقق أن المتجهة v تساوي k مضروبة في المتجهة u. بناءً على هذا، تكون ثلاث نقط A و B و C مستقيمية إذا كانت المتجهتان AB و AC مستقيميتين.
- توازي المستقيمات: يتوازى المستقيمان (AB) و (CD) إذا وفقط إذا كانت المتجهتان الموجهتان لهما AB و CD مستقيميتين.
- منظومة منتصف قطعة أرضية أو هندسية: تكون النقطة I منتصف القطعة [AB] إذا وفقط إذا كانت المتجهة IA + المتجهة IB تساوي المتجهة المنعدمة 0، وهي تكافئ تحليلياً أن المتجهة OI تساوي نصف مجموع المتجهتين OA و OB لأي نقطة O في المستوى.
2. درس المستقيم في المستوى - الهندسة التحليلية
يدرس هذا المحور المستقيمات الهندسية من منظور جبري إحداثياتي داخل معلم متعامد ومنظم (O; i; j):
- شرط استقامية متجهتين تحليلياً (المحددة): لتكن المتجهة u ذات الإحداثيات (x; y) والمتجهة v ذات الإحداثيات (x'; y'). محددة المتجهتين ونرمز لها بـ det(u, v) تحسب بالقانون التالي: det(u, v) = x * y' - y * x'. تكون المتجهتان مستقيميتين إذا وفقط إذا كانت محددتهما مساوية للصفر: det(u, v) = 0.
- المعادلة الديكارتية لمستقيم: كل مستقيم (D) في المستوى يقبل معادله جبرية تسمى المعادلة الديكارتية وتكتب على شكل: ax + by + c = 0 مع شرط أن الزوج (a; b) يخالف الزوج (0; 0). تتميز هذه المعادلة بأن المتجهة u ذات الإحداثيات (-b; a) تشكل دائماً متجهة موجهة لهذا المستقيم.
- المعادلة المختصرة لمستقيم: إذا كان b لا يساوي الصفر، يمكن كتابة المستقيم على الصيغة المختصرة التالية: y = mx + p. حيث يسمى الثابت m الميل أو المعامل الموجه للمستقيم، ويسمى الثابت p الأرتوب عند الأصل (صورة الصفر).
- الأوضاع النسبية لمستقيمين تحليلياً: ليكن لدينا مستقيمان (D) بميل m و (D') بميل m':
- يتوازى المستقيمان إذا وفقط إذا كان لهما نفس الميل تماماً، أي m = m'.
- يتقاطع المستقيمان في نقطة واحدة فريدة إذا كان ميلاهما مختلفين، ولتحديد إحداثيات نقطة التقاطع نقوم بحل النظمة المكونة من معادلتي المستقيمين معاً.
ثالثاً: محاور التحليل والدوال العددية (الدورة الثانية)
يمثل التحليل الرياضي قفزة نوعية في التفكير التجريدي، حيث يتم الانتقال لدراسة التحولات والمتغيرات وعلاقات الارتباط بين المجموعات العددية المتغيرة:
1. درس عموميات حول الدوال العددية
مفهوم الدالة ومجموعة التعريف (Df): الدالة العددية f هي آلية رياضية تربط كل عنصر عددي x من مجموعة الانطلاق بعنصر وحيد y من مجموعة الوصول يسمى صورة x ونكتب f(x) = y. مجموعة التعريف Df هي مجموعة الأعداد الحقيقية التي تمتلك صورة معرفة وحقيقية بالدالة f، وتتحدد شروطها بناءً على نمط الدالة الكلي:
- الدوال الحدودية: هي دوال لا تحتوي على كسر أو جذر، ومجموعة تعريفها هي دائماً مجموعة الأعداد الحقيقية كاملة: Df = R.
- الدوال الجذرية أو الكسرية: هي الدوال التي تحتوي على مجهول في المقام. يشترط في مجموعة تعريفها أن يكون المقام كاملاً مخالفاً ومغايراً للصفر قطعا. مثال: لدالة بصيغة A(x) / B(x)، الشرط هو B(x) لا يساوي 0.
- الدوال اللاجذرية (الدوال المحتوية على جذر مربع): يشترط لتعريفها أن يكون التعبير المتواجد تحت سقف الجذر المربع موجباً أو منعدماً دائماً (أكبر من أو يساوي الصفر). مثال: لدالة بصيغة جذر A(x)، الشرط هو A(x) أكبر من أو يساوي 0.
زوجية دالة عددية: تدرس زوجية الدالة للتأكد من تماثلاتها الهندسية لتسهيل رسم المنحنى السياني وبنائه:
- الدالة الزوجية: تكون الدالة f زوجية إذا تحقق شرطان معاً؛ الأول: لكل x من Df فإن نظيره -x ينتمي أيضاً إلى Df. الثاني: صورة النظير تساوي صورة الأصل أي f(-x) = f(x). هندسياً، يتميز منحنى الدالة الزوجية بأنه متماثل تماماً بالنسبة لمحور الأراتيب.
- الدالة الفردية: تكون الدالة f فردية إذا تحقق شرطان؛ الأول: التماثل في مجموعة التعريف (لكل x من Df فإن -x ينتمي لـ Df). الثاني: صورة النظير تساوي سالب صورة الأصل أي f(-x) = -f(x). هندسياً، يتميز منحنى الدالة الفردية بأنه متماثل بالنسبة لنقطة أصل المعلم O.
دراسة تغيرات ورتابة دالة عددية: يقصد برتابة دالة معرفة ما إذا كانت تزايدية أو تناقصية أو ثابتة على مجال معين I. نأخذ عنصرين اختياريين x1 و x2 من المجال بحيث يكون x1 أصغر من x2:
- نقول إن الدالة تزايدية قطعا على المجال I إذا حافظت الصور على نفس اتجاه الترتيب الأصلي، أي أن صورة x1 تظل أصغر من صورة x2.
- نقول إن الدالة تناقصية قطعا على المجال I إذا انعكس اتجاه ترتيب الصور، أي أن صورة x1 تصبح أكبر من صورة x2.
- معدل التغير: هو أداة تقنية لدراسة الرتابة ويحسب بالقانون التالي: T = [f(x1) - f(x2)] / (x1 - x2). إذا كان معدل التغير T موجباً قطعا فإن الدالة تزايدية قطعا، وإذا كان معدل التغير T سالباً قطعا فإن الدالة تناقصية قطعا على ذلك المجال.
2. درس الحساب المثلثي
يهدف هذا الدرس إلى بناء أسس القياس الزاوي والتعامل مع الدائرة المثلثية الموجهة التي نصف قطرها الافتراضي R = 1:
- وحدات قياس الزوايا (الراديان والدرجة): الراديان هو الوحدة العالمية الرسمية لقياس الزوايا في الرياضيات والتطبيقات الفيزيائية. القاعدة الثابتة للتحويل بين الدرجة والراديان تعتمد على أن زاوية مستقيمة قياسها 180 درجة تعادل تماماً القيمة بي (π) بالراديان. علاقة التناسب هي: D / 180 = R / π.
- الأفاصيل المنحنية الرئيسية والدورية: لكل نقطة متواجدة على محيط الدائرة المثلثية عدد لانهائي من الأفاصيل المنحنية التي تعبر عن عدد الدورات، وتكتب بصيغة عامة: x + 2kπ حيث k عدد صحيح نسبي ينتمي إلى Z. الأفصول المنحني الرئيسي هو القيمة الوحيدة الفريدة التي تنتمي حصرياً للمجال نصف المفتوح: من ناقص بي إلى بي ]π ; π-.
- العلاقات المثلثية البنيوية الأساسية: لكل عدد حقيقي x، توجد قواعد ثابتة لا تتغير تربط الجيب (Sinus) والجيب تمام (Cos) والظل (Tangente):
القاعدة الأولى الكبرى: cos²(x) + sin²(x) = 1
القاعدة الثانية: قيمة الجيب والجيب تمام محصورة دائماً بين ناقص واحد وواحد: 1 => (cos(x) => -1 وكذلك بالنسبة لـ sin.
القاعدة الثالثة لحساب الظل: tan(x) = sin(x) / cos(x) مع شرط أن cos(x) لا يساوي الصفر. - خاصيات التماثل والاختزال في الدائرة المثلثية: تسهم هذه القواعد في اختزال الزوايا الكبيرة وإعادتها إلى الربع الأول من الدائرة:
- التماثل السلبي: cos(-x) = cos(x) بينما ينفد الجيب الإشارة: sin(-x) = -sin(x).
- علاقات النصف دائرة: cos(π - x) = -cos(x) في حين أن sin(π - x) = sin(x).
- علاقات الإضافة: cos(π + x) = -cos(x) وأيضاً sin(π + x) = -sin(x).
رابعاً: خطوات ومنهجية التعامل مع الوضعيات والتمارين الرياضية
لتجنب الأخطاء الشائعة وضمان الحصول على النقط الكاملة في الفروض المراقبة لمادة الرياضيات جذع مشترك لعام 2026، يوصى بشدة باتباع البروتوكول المنهجي الصارم التالي أثناء التحرير:
- 1. صياغة الاستلزام والبرهان المنطقي بدقة : لا تضع الحسابات بشكل عشوائي ومبعثر في ورقة التحرير. استخدم الروابط المنطقية بدقة عالية مثل: وبما أن إذن ويكافئ؛ فالأستاذ المصحح يولي أهمية كبرى لترابط الأفكار والمنطق المتبع وليس النتيجة العددية النهائية فقط. التحرير المنظم يعكس فهماً عميقاً للمادة.
- 2. تحديد مجموعة التعريف قبل الشروع في حل المعادلات : في تمارين المعادلات والمتراجحات، سواء كانت من الدرجة الثانية أو تحتوي على قيمة مطلقة أو كسور، اجعل خطوتك الأولى دائماً هي تحديد مجموعة الصلاحية أو التعريف Df. الحلول المستخرجة عدلياً يجب أن تُقاطع مع هذه المجموعة للتأكد من ملاءمتها وقبولها داخل النطاق الحقيقي للحل.
- 3. التدرب على الرسم الهندسي الدقيق في المسودة : في دروس الحساب المتجهي والهندسة التحليلية، يساعد إنشاء شكل تقريبي دقيق على الوسخة في كشف العلاقات المتجهية المخفية وتفادي أخطاء الإشارات أثناء حساب الإحداثيات الديكارتية أو حساب محددة متجهتين في المستوى.
- 4. مراجعة إشارات الحساب الجبري والمثلثي تلو الآخر : تضيع نقط التلاميذ بكثرة بسبب السهو عن تغيير الإشارات عند إزالة الأقواس المسبوقة بعلامة ناقص (-)، أو الخلط بين إشارات الكوسينوس والسينوس في أرباع الدائرة المثلثية الأربعة. تأنّ أثناء عمليات النشر والتبسيط والتعميل الحسابي لضمان سلامة الخطوات.
تحميل ملخصات مادة الرياضيات الجذع المشترك العلمي PDF 2026
إن التفوق والتميز في مادة الرياضيات بالجذع المشترك العلمي لا ينبع من مجرد قراءة الملخصات بشكل سطحي أو عابر، بل يتأتى بالمران العملي المستمر والتطبيق المباشر عبر حل عشرات التمارين والتطبيقات المتنوعة لمواجهة مختلف الأفكار الرياضية الصعبة والوضعيات التقويمية المتنوعة.
وتسهيلاً لعمليات الاستذكار والمراجعة المركزة قبل الفروض، نوفر لكم عبر روابط تحميل مباشرة وآمنة متواجدة في أسفل موقعنا التربوي، إمكانية تحميل الحقيبة التعليمية لملخصات دروس مادة الرياضيات للجذع المشترك العلمي والتكنولوجي PDF لعام 2026. تشمل هذه الملفات كبسولات مركزة لكل درس على حدة باللغتين العربية والفرنسية (خيار فرنسية مسلك دولي)، متبوعة بجداول القوانين وجذاذات تقنية ونماذج من الفروض المحروسة للدورتين الأولى والثانية مع عناصر إجابتها التفصيلية لمساعدتكم على تصدر الرتب الأولى وبناء مسار علمي ناجح.